Se calcula el factor de tamaño del núcleo de hormigón:

g = 18 cm /30 cm = 0.60

Se escoge el gráfico # 121 de los Diagramas de Interacción para Columnas Rectangulares, que asume f’c = 210 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2 y g = 0.60

Se calculan las coordenadas adimensionales.

Interpolando en los diagramas de interacción se obtiene:

r t = 0.011 > 0.01 (OK)

La sección transversal de acero es:

As = r t . b . t = 0.011 (30 cm) (30 cm) = 9.90 cm2

Se requieren 4 varillas de 14 mm y 4 varillas de 12 mm que proporcionan una sección transversal de acero de 10.68 cm2.

b. Diseño de las Columnas Incluyendo el Efecto de la Esbeltez:

Se calcula el módulo de elasticidad del hormigón no fisurado:

Se calcula el valor aproximado del producto E . I para las columnas con la siguiente expresión:

Ig = (30 cm) (30 cm)3 / 12 = 67500 cm4

b d = 137003 Kg-cm /(137003 Kg-cm + 68501 Kg-cm) = 0.667

Se calcula el valor del producto E . I para las vigas que aproximadamente es la mitad de la expresión válida para columnas debido a un nivel mayor de agrietamiento:

Ig = (25 cm) (40 cm)3 / 12 = 133333 cm4

b d = 25260 Kg-cm / (25260 Kg-cm + 12630 Kg-cm) = 0.667

Se determina el nivel de arriostramiento en los extremos superior e inferior de la columna, mediante la siguiente expresión:

En el extremo superior de la columna se tiene:

En el caso del extremo inferior, que llega al plinto de cimentación, se considera un semiempotramiento, lo que significa que:

Y inf = 1.00

Un empotramiento total significaría que Y inf = ¥ y un apoyo articulado significaría que Y inf = 0

Con los dos valores calculados (Y inf = 1 ; Y sup = 1.19) se accede al nomograma para columnas con desplazamiento transversal y se obtiene:

k = 1.34

La carga crítica de pandeo se calcula con la ecuación de Euler:

La carga axial última es:

Pu = 5976 Kg

El momento flector último por cargas que no producen desplazamientos transversales es:

M1ns = 0.75 [ 1.4 ( 137003 Kg-cm ) + 1.7 ( 68501 Kg-cm ) ]

M1ns = 231192 Kg-cm

El momento flector último por cargas que no producen desplazamientos transversales es:

M1s = 0.75 [ 1.87 ( 141338 Kg-cm ) ]

M1s = 198227 Kg-cm

Se calcula el factor de amplificación del momento flector que no produce desplazamientos transversales:

Cm = 1

Se calcula el momento flector de diseño, mayorado:

Mc = d . M2 = (1.050) (231192 Kg-cm) = 242752 Kg-cm

Se calcula el factor de amplificación del momento flector que si produce desplazamientos transversales:

Donde:

Pu = 5976 Kg

D o = 0.75 [ 1.87 (0.740 cm)] = 1.038 cm

Vu = 0.75 [ 1.87 (2320 Kg)] = 3254 Kg

Lc = 340 cm - 20 cm - 20 cm = 300 cm

Se calcula el factor de amplificación de momento d s por desplazamiento de piso:

El momento último de diseño es:

Mc = 242752 Kg-cm + 1.0501(198227 Kg-cm) = 450910 Kg-cm

Se determinan las coordenadas para el uso de los diagramas de interacción adimensionales:

Interpolando en los diagramas de interacción se obtiene:

r t = 0.012

As = r t . b. t = (0.012) (30 cm) (30 cm) = 10.80 cm2

La cuantía determinada es ligeramente mayor a la cuantía obtenida al menospreciar el efecto de pandeo, por lo que se requieren 8 varillas de 14 mm, que proporcionan una sección transversal de acero de 12.31 cm2.

11.7 FLEXOCOMPRESION BIAXIAL:

Las columnas en estructuras espaciales presentan simultáneamente cargas axiales y momentos flectores en dos direcciones ortogonales, dando lugar a la flexocompresión biaxial.

De manera similar a la flexocompresión uniaxial, es posible determinar diagramas de interacción para distintas orientaciones del momento flector resultante, los que integrados en un diagrama tridimensional conforman superficies de interacción como la que se presenta en la siguiente figura:

Es indudable que las curvas de interacción respecto de los ejes principales (x, y) pueden ser determinadas con relativa facilidad, pero las curvas de interacción respecto a ejes diagonales guardan cierto grado de complejidad.

Las investigaciones realizadas con columnas cuadradas, armadas de la manera tradicional, demuestran que existe una considerable disminución de la capacidad resistente a flexión de tales columnas cuando las solicitaciones se producen aproximadamente a 45° de los ejes principales. Esta disminución puede llegar a ser del orden de un 30% con relación a la flexión sobre los ejes principales, por lo que la utilización exclusiva de las curvas de interacción principales, para modelar la flexocompresión biaxial, puede conducir a errores importantes.

Con el objeto de mejorar la precisión en el resultado del diseño de columnas sometidas a flexocompresión biaxial, el ACI ha publicado Diagramas de Interacción para Columnas Cuadradas, Uniformemente Armadas en sus Cuatro Caras, con Flexión a 45° Respecto a los Ejes Principales. Estas curvas de interacción a 45° , junto con las Curvas de Interacción Respecto a los Ejes Principales permiten una interpolación angular bastante más confiable para cualquier ángulo de flexión en columnas cuadradas. Existen autores como Row y Pauley que recomiendan diagramas de interacción para más ángulos de flexión intermedios (15° , 30° y 45° ), con el objeto de tener una mayor precisión en la interpolación.

Se anexan a esta publicación familias de Curvas de Interacción de Columnas Rectangulares para Flexión Diagonal (un caso particular son las columnas cuadradas con flexión a 45° ), con diferentes cuantías de armado en caras con distinta orientación y armadura idéntica en caras opuestas, lo que amplía el campo de utilización de las curvas propuestas por el ACI, y parcialmente mejora las curvas propuestas por Row y Pauley.

 

EJEMPLO 11.6:

Diseñar una columna cuadrada de hormigón armado de 50 cm x 50 cm, que debe resistir una carga axial última Pu de 178 T, un momento flector último Muy (en la dirección del eje x, y alrededor del eje y) de 37 T-m y un momento flector último Mux (en la dirección del eje y, y alrededor del eje x) de 22 T-m. La resistencia del hormigón f’c es 280 Kg/cm2; el esfuerzo de fluencia del acero Fy es 4200 Kg/cm2.

Se escoge el tipo de distribución tentativa de las varillas de acero:

Se calcula el factor de dimensión del núcleo de la columna:

g = 38 / 50 = 0.76 @ 0.80

El momento flector resultante se obtiene sumando vectorialmente los momentos flectores en la dirección de los ejes coordenados principales ortogonales.

Se calcula el ángulo que forma el momento flector último resultante con relación al eje x:

Tg (a ) = Mux / Muy = 22 T-m / 37 T-m = 0.595

a = 30.74°

Con la carga axial última y el momento flector último resultante se determinan los coeficientes de entrada a las curvas de interacción adimensionales.

Se escoge el gráfico # 7 de los Diagramas de Interacción de Columnas Rectangulares y el correspondiente gráfico # 7 de los Diagramas de Interacción de Columnas Rectangulares con Flexión Diagonal, los que están definidos por f’c = 280 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.80, y 20 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras.

En el diagrama de interacción a 0° se obtiene una cuantía de armado r t = 0.0175

En el diagrama de interacción diagonal a 45° se obtiene una cuantía de armado r t = 0.025

Es importante notar, que en esta columna cuadrada, el armado requerido a 45° es superior en un 43% al armado requerido a 0° .

Interpolando linealmente entre 0° y 45° , para 30.74° , se tiene:

r t es mayor a la cuantía mínima en columnas (r mín = 0.01), e inferior a la cuantía máxima en zonas sísmicas (r máx = 0.06). Además la cuantía de armado cumple criterios de economía.

La sección transversal de acero requerida es:

As = r t . Ag = r t . b . t = 0.0226 (50 cm) (50 cm) = 56.50 cm2

La distribución escogida inicialmente determina que se requerirán 12 varillas de hierro esquineras de 20 mm y 8 varillas centrales de 18 mm de diámetro, lo que proporciona 58.00 cm2 de sección transversal de acero.

Para mejorar la capacidad resistente de las columnas a flexocompresión biaxial, es preferible colocar los hierros de mayor diámetro en las esquinas.

Las investigaciones han demostrado que los gráficos de flexocompresión diagonal dan los mejores resultados para columnas cuadradas, y proporcionan resultados aceptables, en columnas rectangulares cuya relación lado mayor / lado menor no supere 2, reajustando el ángulo respectivo en función de la posición de los vértices de las columnas; reajustando el factor de tamaño del núcleo g; y tomando en consideración la geometría y la capacidad resistente en las dos direcciones ortogonales principales.

 

EJEMPLO 11.7:

Diseñar una columna rectangular de hormigón de 50 cm x 30 cm sometida a una carga axial última Pu de 107 T, a un momento flector último Muy (alrededor del eje y) de 11 T-m en la dirección de los 30 cm, y a un momento flector último Mux (alrededor del eje x) de 13 T-m en la dirección de los 50 cm. El hormigón tiene una resistencia característica de 280 Kg/cm2 y un esfuerzo de fluencia de 4200 Kg/cm2.

Se determina el ángulo de posición del vértice con relación al eje x:

Tg (b ) = 25 cm / 15 cm = 1.667

b = 59.04°

Se determina el momento flector último resultante:

Se determina el ángulo de acción del momento flector resultante con relación al eje x:

Tg(a ) = 13 T-m / 11 T-m = 1.182

a = 49.76°

El ángulo obtenido está comprendido entre 0° y 59.04° , por lo que para la interpolación se requieren las cuantías de armado para esos ángulos de flexión.

Se calculan los coeficientes adimensionales de entrada a los diagramas de interacción a 0° :

Se calcula el momento flector resultante:

Se calculan los coeficientes adimensionales de entrada a los diagramas de interacción con flexión diagonal (59.04° para esta columna rectangular), que consideran la capacidad resistente en las dos direcciones principales:

Se calculan los factores de dimensión del núcleo para los ejes principales:

gx = 18 cm / 30 cm = 0.60

gy = 38 cm / 50 cm = 0.76

Se calcula el factor de dimensión del núcleo para los diagramas de flexión diagonal (a 59.04° para la columna rectangular):

g = (gx + gy) / 2 = 0.68 » 0.70

Se escoge el gráfico # 65 de los Diagramas de Interacción de Columnas Rectangulares definido por f’c = 280 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.60, y 16 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras, así como el gráfico # 66 de los Diagramas de Interacción de Columnas Rectangulares con Flexión Diagonal, definido por f’c = 280 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.70, y 16 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras.

En el diagrama de interacción a 0° , utilizando x = 0.135 , y = 0.255, se obtiene una cuantía de armado r t = 0.033

En el diagrama de interacción diagonal (a 59.04° para la presente columna rectangular), utilizando x = 0.105, y = 0.255, se obtiene una cuantía de armado r t = 0.0235

Interpolando para 49.76° se tiene:

r t es mayor a la cuantía mínima en columnas (r mín = 0.01), e inferior a la cuantía máxima en zonas sísmicas (r máx = 0.06). Además una cuantía de armado de 2.50% es aceptable para nuestro medio, desde un punto de vista económico.

Es importante notar que la cuantía de armado requerida para esta columna rectangular es menor que la cuantía de armado requerida en la dirección débil a 0° (0.0235 < 0.033), debido a la importancia de la dimensión de la columna en la dirección y (50 cm) comparada con la dimensión en la dirección x (30 cm), que mejora la capacidad resistente diagonal. Así mismo, por el motivo antes expuesto, si el momento actuara solamente en la dirección y, mucho más resistente, la cuantía de armado sería aún menor que las dos cuantías anteriores (r t = 0.004).

La sección transversal de acero requerida es:

As = r t . b . t = 0.0250 (50 cm) (30 cm)

As = 37.50 cm2

Se escogen 12 varillas de 20 mm, que proporcionan 37.68 cm2 de sección transversal.

 

11.8 DISEÑO DE COLUMNAS A CORTE UNIDIRECCIONAL:

Las solicitaciones de corte que actúan sobre las columnas serán resistidas por el hormigón, y por estribos transversales colocados apropiadamente.

Cuando las fuerzas cortantes que actúan sobre las columnas en una dirección dominan sobre las fuerzas cortantes ortogonales, se puede realizar el diseño a corte unidireccional tradicional utilizando una metodología similar a la empleada en vigas.

El hormigón de las columnas podrá resistir esfuerzos cortantes vc definidos por la siguiente expresión:

El esfuerzo cortante que no puede ser resistido por el hormigón (vu - vc) deberá ser resistido por acero transversal.

La sección transversal resistente al corte Av de los elementos transversales se calcula con la siguiente expresión:

Para cumplir con la sección transversal mínima requerida por cortante, adicionalmente a los estribos cerrados se podrán utilizar grapas suplementarias del mismo diámetro de los estribos, a los mismos espaciamientos que los estribos cerrados, que tengan ganchos mínimo de 135° de doblez, asegurados en sus extremos a varillas longitudinales y a los estribos cerrados.

Las grapas suplementarias o las ramas de los estribos cerrados traslapados deberán espaciarse transversalmente a no más de 35 cm entre centros.

 

EJEMPLO 11.8:

Determinar el armado transversal requerido por la columna cuya sección transversal se detalla en la figura, sometida a una fuerza cortante unidireccional de 14 T, coincidente con el eje principal x. El hormigón tiene una resistencia de f’c = 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2.

Cálculo del esfuerzo cortante último:

b = 30 cm

d = 24 cm

f = 0.85 (corte)

Vu = 14 T. = 14000 Kg

Cálculo del esfuerzo resistente del hormigón:

 

 

 

Verificación del esfuerzo máximo que puede resistir el acero transversal:

El esfuerzo máximo que puede absorverse con acero transversal es:

El esfuerzo que debe absorverse con acero transversal es:

vu - vc = 22.88 Kg/cm2 - 7.25 Kg/cm2 = 15.63 Kg/cm2

Debe verificarse que:

15.63 Kg/cm2 < 30.43 Kg/cm2 (O.K.)

Cálculo de la armadura transversal:

La sección transversal se calcula con la siguiente expresión:

Despejando el espaciamiento s de la ecuación anterior se tiene:

Tomando un estribo de 8 mm de diámetro cuya sección transversal es 0.50 cm2, y considerando que un estribo cuadrado tiene dos ramales orientados en la dirección x, se tiene que:

Av = 2 x 0.50 cm2 = 1.00 cm2

Reemplazando en la ecuación de cálculo del espaciamiento s:

Para resistir las fuerzas cortantes se requieren estribos cerrados de 8 mm espaciados cada 9 cm.

 

 

 

11.9 DISEÑO DE COLUMNAS A CORTE BIDIRECCIONAL:

El diseño de columnas a corte bidireccional tiene características especiales, que los códigos vigentes pasan por alto pues únicamente analizan el caso de corte unidireccional. Sin embargo se pueden rescatar ciertos criterios del diseño de corte con torsión especificado en los códigos, con el objeto de definir una metodología apropiada.

La capacidad resistente nominal a corte del hormigón simple en las dos direcciones principales (vcx, vcy) depende del nivel de esfuerzos cortantes últimos en las dos direcciones (vux, vuy) y se calcula con las siguientes expresiones:

Donde:

vcx: esfuerzo resistente a corte del hormigón simple en la dirección x

vcy: esfuerzo resistente a corte del hormigón simple en la dirección y

vux: esfuerzo cortante último en la dirección x

vuy: esfuerzo cortante último en la dirección y

Las dos ecuaciones anteriores se interpretan como que la resistencia nominal del hormigón simple a cortante puro es (ligeramente superior al cortante que resiste el hormigón bajo solicitaciones unidireccionales, de acuerdo a los códigos). Cualquier estado tensional de corte bidireccional se describe por una circunferencia base que tiene como radio , y una circunferencia de diseño, múltiplo de la circunferencia base, que superpone las solicitaciones en las dos direcciones.

Las solicitaciones máximas que pueden resistir las secciones rectangulares de hormigón armado, incluida la colaboración del refuerzo transversal de acero, también están controladas por una circunferencia proporcional a las anteriores, en las que el esfuerzo máximo que se admite a corte puro es . Esta nueva circunferencia es 5 veces mayor que la circunferencia base.

La expresión que define el mayor esfuerzo cortante bidireccional que puede resistir una sección rectangular reforzada en las dos direcciones con acero es la siguiente:

El acero de refuerzo transversal (Avx, Avy) requerido para resistir las fuerzas cortantes en las dos direcciones ortogonales (x, y) se calcula con las siguientes expresiones:

Donde:

Avx: sección transversal resistente al corte de los ramales orientados en la dirección x

Avy: sección transversal resistente al corte de los ramales orientados en la dirección y

 

EJEMPLO 11.9:

Determinar el armado transversal requerido por la columna cuya sección transversal se detalla en la figura, sometida simultáneamente a una fuerza cortante en la dirección del eje x de 10 T, y una fuerza cortante en la dirección del eje y de 16 T. El hormigón tiene una resistencia de f’c = 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2.

Cálculo del esfuerzo cortante último en la dirección x:

b = 40 cm

d = 24 cm

f = 0.85 (corte)

Vux = 10 T. = 10000 Kg

Cálculo del esfuerzo cortante último en la dirección y:

b = 30 cm

d = 34 cm

f = 0.85 (corte)

Vuy = 16 T. = 16000 Kg

Verificación del esfuerzo máximo que puede resistir el hormigón armado:

El esfuerzo máximo que puede absorverse con hormigón y acero transversal es:

El esfuerzo cortante combinado es:

Debe verificarse que:

22.15 Kg/cm2 < 38.40 Kg/cm2 (O.K.)

Cálculo del esfuerzo resistente del hormigón en la dirección x:

Cálculo del esfuerzo resistente del hormigón en la dirección y:

Cálculo de la armadura transversal en la dirección x:

La sección transversal se calcula con la siguiente expresión:

Despejando el espaciamiento s de la ecuación anterior se tiene:

Tomando un estribo de 8 mm de diámetro cuya sección transversal es 0.50 cm2, y considerando que un estribo cuadrado tiene dos ramales orientados en la dirección x, se tiene que:

Av = 2 x 0.50 cm2 = 1.00 cm2

Reemplazando en la ecuación de cálculo del espaciamiento s:

Para resistir las fuerzas cortantes en la dirección x se requieren estribos cerrados de 8 mm de diámetro espaciados cada 13 cm.

Cálculo de la armadura transversal en la dirección y:

La sección transversal se calcula con la siguiente expresión:

Despejando el espaciamiento s de la ecuación anterior se tiene:

Tomando un estribo de 8 mm de diámetro cuya sección transversal es 0.50 cm2, y considerando que un estribo cuadrado tiene dos ramales orientados en la dirección y, se tiene que:

Av = 2 x 0.50 cm2 = 1.00 cm2

Reemplazando en la ecuación de cálculo del espaciamiento s:

Para resistir las fuerzas cortantes en la dirección y se requieren estribos cerrados de 8 mm de diámetro espaciados cada 11.5 cm.

Los fuerzas cortantes en las dos direcciones ortogonales son resistidas por ramales diferentes de los estribos cerrados por lo que no es necesario superponer las dos armaduras calculadas.

Para resistir las fuerzas cortantes en las dos direcciones se toma el menor de los espaciamientos calculados, es decir que se requieren estribos cerrados de 8 mm de diámetro espaciados cada 11.5 cm.

 

11.10 CARACTERISTICAS DEL REFUERZO LATERAL EN COLUMNAS CON ESTRIBOS:

En zonas sísmicas, en columnas con estribos, todas las varillas no preesforzadas deberán confinarse mediante estribos laterales (y grapas suplementarias si fueran necesarias) por lo menos de 8 mm de diámetro para varillas longitudinales de 28 mm o menores; por lo menos de 10 mm para varillas longitudinales de 32 mm; y por lo menos de 10 mm para paquetes de varillas.

Los estribos deberán ser cerrados, con ángulos de doblez extremos de al menos 135° , más una longitud de al menos 10 diámetros de la varilla del estribo, pero no menor a 10 cm en los extremos libres.

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