1 POLINOMIOS DE TAYLOR

Dado el polinomio de grado n,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn (1)

queremos expresarlo en función de las potencias de x - a, es decir, debemos calcular los coeficientes b0, b1, b2, ... , bn del polinomio

P(x) = b0 + b1(x - a) + b2(x - a)2 + ... + bn-1(x – a)n-1 + bn(x - a)n (2)

Estos coeficientes se determinan de la siguiente manera: P(a) = b0

Derivando el polinomio, se tiene

P´(x) = b1 + 2b2(x - a) + 3b3(x - a)2 + ... + nbn(x - a)n-1

P´´(x) = 2b2 + 3× 2b3(x - a) + ... + n(n - 1)bn(x - a)n-2

...

P(n-1)(x) = (n - 1)(n - 2) × × × 3× 2bn-1 + n(n - 1)(n - 2) × × × 4× 3× 2bn(x - a)

P(n)(x) = n ! bn

Particularizando estas derivadas para x = a, se tendrá

P´(a) = b1

P´´(a) = 2! b2 Þ b2 =

P´´´(a) = 3! b3 Þ b3 =

...

P(n-1)(a) = (n - 1)! bn-1 Þ bn-1 =

P(n)(a) = n! bn Þ bn =

Por consiguiente, todo polinomio de grado n se puede expresar en función de los valores que toman las n primeras derivadas en un punto a y de las potencias del binomio x - a, esto es

P(x) = (3)

Este resultado se generaliza a cualquier función f(x) siempre que supongamos que sea derivable n veces en el punto a.

Definición 1.1 Se denomina polinomio de Taylor de grado n para la función f(x) en el punto a donde suponemos que f(x) es derivable, al menos, n veces, al polinomio

Q(x) = . (4)

Teorema 1.1 Si la función f(x) tiene en un entorno del punto a una derivada continua f (n+1)(x), para cualquier x de dicho entorno se encontrará un punto x Î (a; x) tal que f(x) puede expresarse de la siguiente manera:

f(x) =

Demostración El polinomio Q(x) coincide con la función f(x) en el punto a, pero no es igual a f(x) para todos los x (siempre que f(x) no sea un polinomio de grado n). Además,

Q´(a) = f ´(a), Q´´(a) = f ´´(a), . . . , Q(n - 1)(a) = f (n - 1)(a) = Q(n )(a) = f (n)(a). (5)

Pongamos

f(x) = Q(x) + R(x). (6)

La fórmula (6) lleva el nombre de Taylor para la función f(x); R(x) se denomina término residual de la fórmula de Taylor y, más detalladamente, n-ésimo término residual de la fórmula de Taylor de la función f(x) en potencias de x - a. La función R(x) muestra qué error se comete cuando f(x) se sustituye por el polinomio de Taylor (4).

Encontremos la expresión para R(x) en términos de la derivada f (n + 1)(x).

En virtud de (5) y (6),

R(a) = R´(a) = R´´(a) = ... = R(n - 1)(a) = R(n)(a) = 0.

Pongamos

j (a) = j ´(a) = j ´´(a) = ... = j (n - 1)(a) = j (n)(a) = 0.

Al aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones R(x) y j (x), tendremos

====...===

(a1 Î (a; x) y an+1 Î (a; ak ), k = 1, 2, ..., n).

Mas

j (n + 1)(x) = (n + 1)!, R(n + 1)(x) = f (n + 1)(x) - 0 = f (n + 1)(x).

Por consiguiente

R(x) = , (7)

donde x = an+1 es un punto que se halla comprendido entre a y x.

De este modo, la fórmula (4) puede escribirse en la forma

f(x) =

Esta fórmula se llama fórmula de Taylor con el término residual en forma de Lagrange. Aquí x depende de x y n. ¢

Si el punto a = 0, la fórmula f(x) se conoce con el nombre de fórmula de Maclaurin, es decir:

f(x) =.

Sabemos también otras formas del término residual de la fórmula de Taylor. Es de mucha importancia, por ejemplo, la forma de Cauchy

Rn(x) =,

donde q (0 < q < 1) depende de n y x.

Reduciendo el entorno del punto a, obtenemos que la derivada f (n+1)(x) es una función continua de x en el segmento cerrado [a - d ; a + d ]. Pero, en este caso, está acotada en dicho segmento:

½ f (n+1)(x)½ £ M. a - d  £ x £ a + d .

Aquí M es un número positivo que no depende de los x mencionados, pero depende, en general, de n. Entonces

½ R(x)½ £ £ .

Esta desigualdad puede emplearse con el fin de conseguir dos objetivos: para investigar el comportamiento de R(x) con n fijo en el entorno del punto a y para examinar el comportamiento del mismo término residual cuando n ® ¥ .

De la desigualdad se deduce por ejemplo, que cuando n es fijo tiene lugar la propiedad

R(x) = = o((x - a)n), x ® a.

Dicha propiedad muestra que si R(x) dividimos por (x - a)n, el cociente obtenido continuará tendiendo hacia cero cuando x ® a. Con esta nueva expresión para R(x) se deduce que

f(x) = (8)

Esta es la fórmula de Taylor con el término residual en la forma de Peano. Es apta para el estudio de la función f(x) en el entorno del punto a.

Y, la fórmula siguiente se denomina fórmula de Maclaurin con el término residual en la forma de Peano

f(x) = (9)

Sea que la función f(x) tiene en el entorno del punto a = 0 derivadas de todos los órdenes (es infinitamente derivable). Entonces:

a) si f(x) es una función par, con cualquier n Î N,

f(x) = = (10)

b) si f(x) es una función impar, con cualquier n Î N,

f(x) = = (11)

Las fórmulas de Taylor en el entorno del punto a = 0 (fórmulas de Maclaurin) toman para las funciones elementales la forma:

(12)

f(x) = ex Þ f(a) = ea Þ f(0) = 1

f ´(x) = ex Þ f ´(a) = ea Þ f ´(0) = 1

f ´´(x) = ex Þ f ´´(a) = ea Þ f ´´(0) = 1

f ´´´(x) = ex Þ f ´´´(a) = ea Þ f ´´´(0) = 1

. . .

f(n)(x) = ex Þ f(n)(a) = ea Þ f(n)(0) = 1

La fórmula de Taylor nos da:

La fórmula de Maclaurin nos da:

ex =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13)

f(x) = Senh(x) Þ f(a) = Senh(a) Þ f(0) = 0

f ´(x) = Cosh(x) Þ f ´(a) = Cosh(a) Þ f ´(0) = 1

f ´´(x) = Senh(x) Þ f ´´(a) = Senh(a) Þ f ´´(0) = 0

f ´´´(x) = Cosh(x) Þ f ´´´(a) = Cosh(a) Þ f ´´´(0) = 1

f IV(x) = Senh(x) Þ f IV(a) = Senh(a) Þ f IV(0) = 0

f V(x) = Cosh(x) Þ f V(a) = Cosh(a) Þ f V(0) = 0

. . .

f (n)(x) = Senh(x) Þ f (n)(a) = Senh(a) Þ f (n)(0) = 0, n par.

f (n)(x) = Cosh(x) Þ f (n)(a) = Cosh(a) Þ f (n)(0) = 1, n impar.

La fórmula de Maclaurin nos da:

Senh(x) =

 

 

(14)

ContinuarSegundo Semestre, 1997