APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LOS COEFICIENTES DE DESPLAZAMIENTO PARA EL CONTROL DE LA DERIVA

Ing. Pablo Caiza Sánchez, C.E.

 

RESUMEN:

Se presentan los límites de derivas de piso recomendados por diferentes códigos y se explican sus diferencias. Se propone el control de la deriva por medio del método de los coeficientes de desplazamientos, para lo que se desarrolla su base teórica y se muestran dos ejemplos de aplicación.

 

1. INTRODUCCIÓN

La deriva definida como "el desplazamiento horizontal relativo entre dos puntos colocados en la misma línea vertical, en dos pisos o niveles consecutivos de la edificación" (1), constituye un elemento básico en el proceso de diseño estructural ; pues, está asociada con : las deformaciones inelásticas de los elementos estructurales y no estructurales, la estabilidad global de la estructura, el daño a los elementos no estructurales y también la alarma y pánico entre los ocupantes de la estructura (1). Se anota, sin embargo, el hecho de que se trata de una medida indirecta del comportamiento estructural el cual se considera decisivo en el diseño estructural (2).

Las recomendaciones para valores máximos dadas por diferentes códigos se pueden resumir de la siguiente forma :

Códigos NEHRP-91 y ASCE7-95 (3) :

Los valores máximos varían de 0.025 hp a 0.010 hp dependiendo del grupo de exposición al riesgo sísmico, hp es la altura de piso.

Código UBC-94  (3):

Para T < 0.7 s

deriva £ 0.04/Rw £ 0.005hp

Para T ³ 0.7s

deriva < 0.03/Rw < 0.004hp

donde T es el periodo fundamental de la estructura y Rw para pórticos dúctiles de hormigón armado es 12.

Código NSR-98 (normas colombianas de diseño y construcción sismoresistente) (1):

Para estructuras de concreto reforzado, metálicas y de madera la deriva debe ser menor a 0.01 hp.

Normas venezolanas de diseño sismoresistente(4),(5),(10) :

Presenta la siguiente tabla :

Tabla 1 : Recomendaciones de la norma venezolana

derivas de piso máximas

Tipo y disposición de los elementos No estructurales

edificaciones tipo A

edificaciones tipo B

Susceptibles de sufrir daños por deformaciones de la estructura

0.015

0.018

No susceptibles de sufrir daños por deformaciones de la estructura

0.020

0.024

en donde las edificaciones tipo A son aquellas que contienen instalaciones esenciales y/o de larga vida útil y las tipo B aquellas de uso público o privado.

Como se nota tanto NERHP-91, ASCE7-95, NSR-98 y las normas venezolanas tienen valores similares, en tanto que UBC-94 tiene valores aparentemente diferentes. Esta diferencia está en la forma en que se realiza el diseño. En los primeros códigos se trata de cargas de resistencia, en tanto que para el último se trata de cargas de servicio.

En estructuras de hormigón armado de pocos pisos son los requisitos de resistencia antes que los de servicio (desplazamientos, deriva) los que predominan, volviéndose estos últimos cada vez más importantes a medida que aumenta la altura de la estructura. Sin embargo no deja de ser importante la optimización del control de la deriva pues siempre se busca calcular estructuras por un lado más seguras pero por otro económicas.

Pero ¿cómo obtener derivas aceptables ?

La forma más sencilla es la sugerida por Sarria (6), según la cual la relación entre el área de columnas al área total en cada piso, debe tener un valor mínimo de 0.5%.

Otras formas involucran diferentes procesos de optimización (7),(8),(9), encontrándose especialmente atractivo por su simplicidad el método de los coeficientes de desplazamiento (9).

 

2. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES DE DESPLAZAMIENTO

De los principios de trabajo virtual se tiene que los desplazamientos de una estructura se pueden calcular por el método de la carga unitaria de la siguiente manera :

(1)

donde Ni, Mi, Vi yTi son las cargas axiales, de flexión, cortante y de torsión en el i-ésimo elemento, en tanto que los superíndices C y U identifican el estado de cargas real y por carga unitaria respectivamente. Además, Li, Ai, Ii, Ipi son la longitud, el área transversal, el momento de inercia y el momento polar de inercia del i-ésimo elemento. E y G son los módulos de elasticidad y de cortante y, finalmente, n es el número total de elementos de la estructura y d es el desplazamiento a ser controlado.

Interesa minimizar este desplazamiento, lo que se plantea de la siguiente manera (9):

Minimizar

( 2 )

sujeto a :

( 3 )

 

son los factores de modificación aplicados a los elementos de la estructura y los pesos respectivos. Estas ecuaciones indican que se propone modificar los desplazamientos de forma tal que el peso de la estructura no varíe. Para lograrlo se supone que las contribuciones al desplazamiento de cada elemento son inversamente proporcionales a su peso.

El problema de optimización restringido de las ecuaciones anteriores se transforma en un problema de optimización no restringido usando el multiplicador de Lagrange l  :

( 4 )

Obteniendo las derivadas de la ecuación anterior e igualando a cero ,

( 5 )

( 6 )

se obtienen los coeficientes de desplazamiento  :

( 7 )

3. APLICACIÓN AL CÁLCULO DE UNA ARMADURA

Se calcula la armadura de 10 barras indicada en referencia (8)

(Figura 1) :

 

 

 

 

 

 

E=30000

Figura 1.- Armadura de 10 barras

Las unidades son las del sistema inglés.

El desplazamiento que se calcula es el del nudo inferior derecho de la estructura y es igual a :

( 8 )

Los resultados se resumen a continuación :

Tabla 2.- Cálculo de para la armadura de 10 barras

Elemento

Li

Ai

N(carga real)

N(unit.)

factor de despl

f.despl. x Wi

alfai

1

360

1

195.36

1.51

3.5399

1274.364

1.684

2

360

1

40.12

0.45

0.2166

77.976

0.417

3

360

1

-204.64

-1.49

3.659

1317.24

1.712

4

360

1

-59.88

-0.55

0.3952

142.272

0.563

5

360

1

35.49

-0.05

-0.0213

7.668

0.131

6

360

1

40.12

0.45

0.2166

77.976

0.417

7

509.1

1

147.98

0.7

1.7579

894.9469

0.998

8

509.1

1

84.68

0.78

1.1209

570.6502

0.797

9

509.1

1

-134.87

-0.72

1.6479

838.9459

0.966

10

509.1

1

-56.74

-0.63

0.6066

308.82

0.586

Con las secciones iniciales se obtuvo un desplazamiento de 13.14 unidades, con la optimización de secciones en cambio 11.63 unidades, una mejora del 13%.

 

4. APLICACIÓN AL CÁLCULO DE UNA ESTRUCTURA

APORTICADA

Se usa una estructura simétrica (Figura 2) con las siguientes características en planta y elevación :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 2.- Planta y elevación de la estructura analizada

Se usa un módulo de elasticidad E=12000=185903.2 kg/cm2.

El parámetro de control es la deriva de la estructura en conjunto. Se usan cargas sísmicas determinadas por medio de métodos estáticos equivalentes. Para los esfuerzos se usan tan sólo los de flexión.

Los resultados obtenidos se presentan en la Tabla 3 :

 

 

 

 

Tabla 3.- Cálculo de para la estructura aporticada

å = 0.0340

Los coeficientes j y k son momentos por los estados de cargas real y unitario en los extremos inicial y final de cada elemento de la estructura. Número indica el de elementos con las mismas características.

 

5. DISCUSIÓN

Las áreas de las secciones optimizadas para la armadura de 10 barras indican que es necesario reforzar el cordón superior, las diagonales y el primer elemento del cordón inferior, en tanto que los montantes y el elemento más externo del cordón inferior pueden ser reducidos.

No obstante que en el ejemplo se ha partido de áreas iguales para todos los elementos, éstas deben ser determinadas a partir del diseño tradicional por resistencia. Esto es evidente por cuanto el proceso de optimización descrito aquí reduce las deformaciones, pero mantiene el peso inicial de la estructura.

Los resultados obtenidos para la estructura aporticada indican en cambio, que los factores no pueden ser usados para calcular secciones optimizadas. Por ejemplo, estos factores para las columnas 1, 101 y 201, que están en un mismo eje, son : 0.893,0.408 y 0.747 respectivamente. Si se usaran para dimensionarlas, resultaría que la columna intermedia debe ser de menor sección que la superior.

Sin embargo, sirven de orientación acerca de qué elementos deben aumentar sus secciones ( > 1) y cuáles reducirse ( < 1), siendo aún más útiles que por ejemplo los valores en porcentaje, que indican la contribución de cada elemento en el desplazamiento total.

Las diferencias entre la primera y segunda estructuras pueden explicarse porque los factores que son directamente proporcionales a los desplazamientos son también inversamente proporcionales a los pesos. Lo que es cierto en el caso de armaduras que dependen de las áreas de las secciones, pero no en el de estructuras aporticadas en las que intervienen las inercias de los elementos.

 

6. CONCLUSIONES

El método de coeficientes de desplazamiento es relativamente sencillo y útil para la optimización de deformaciones en armaduras.

En este artículo se lo ha usado una vez hecho el diseño por resistencia y adicionalmente un chequeo de las derivas máximas.

Es un método orientador en estructuras aporticadas acerca de los elementos cuyas secciones deben aumentarse o reducirse.

Permite optimizar un diseño inicial por resistencia, controlando sus deformaciones.

El proceso descrito hace un uso intensivo de programas computacionales.

 

 

 

 

 

 

 

7. REFERENCIAS

  1. Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, NSR-98 Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente, Santafé de Bogotá DC, Colombia, (1998).

  2. N. Priestley, "Myths and Fallacies in Earthquake Engineering", Concrete International/ february 1997/,54-63.

  3. R.D. McIntosh, S. Pezeshk, "Comparison of Recent U.S. Seismic Codes", Journal of Structural Engineering/ august (1997), 993-1000.

  4. Comisión Venezolana de Normas Industriales, Norma Venezolana- Edificaciones Antisísmicas, Fondonorma, (1982).

  5. P. Caiza, "Análisis Modal Espectral Considerando Mampostería", Tesis de Grado, Quito, (1988).

  6. A. Sarria, Ingeniería Sísmica, Ediciones ECOE, (1995).

  7. R. Gallagher, Structural Optimization, Prentice Hall, (1978), 23-47.

  8. U. Kirsch, "Effective Move Limits for Approximate Structural Optimization", Journal of Structural Engineering/february (1997), 210-217.

  9. H.S. Park, C.L. Park, "Drift Control of High-Rise Buildings with Unit Load Method", The Structural Design of Tall Buildings, 6, (1997), 23-35,

  10. J. Hernández, O. López, A. Gutiérrez, R. Bonilla, "Norma Sismorresistente de Edificaciones : Propuesta de Cambios", XI Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural, 2, (1997), 27-34.

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